Funkcją malowane, czyli słów kilka o fraktalach

02.12.2009 - Wiktor Zychla
TrudnośćTrudność

Czym są fraktale

Matematycy w swojej codziennej pracy zajmują się poznawaniem mnóstwa własności, którym nie sposób odmówić elegancji czy wręcz specyficznego piękna. Często mówi się wręcz, że matematyka jest dziedziną sztuki tak samo jak nauki.

Pewien drobny niuans tak pojmowanego piękna matematyki polega na tym, że aby móc je choć trochę pojąć i docenić, trzeba mimo wszystko dysponować dość specyficznym poczuciem estetyki, które kształtuje się przez lata spędzone w świecie aksjomatów, twierdzeń, liczb, figur, reguł czy funkcji.

Istnieją jednak (a może 'na szczęście'?) takie twory myśli matematycznej, których piękno dostrzeże nie tylko specjalista o wykształconej wrażliwości. Tymi tworami są obiekty fraktalne.

Wbrew popularnej definicji, zgodnie z którą fraktalami są takie twory geometryczne, które charakteryzują się jakąś formą samopodobieństwa, matematycy częściej przyjmują definicję szerszą, w której samopodobieństwo jest tylko jednym z kryteriów fraktalności.

Jest bardzo wiele rodzajów fraktali, tych popularnych jak trójkąt Sierpińskiego czy zbiór Mandelbrota oraz mniej znanych. W tym artykule obejrzymy trzy przykłady zbiorów o charakterze fraktalnym, oparte na zupełnie innych podstawach matematycznych, a równie fascynujące w swojej reprezentacji graficznej.

Trójkąt Sierpińskiego

Trójkąt Sierpińskiego jest jednym z najlepiej opisanych fraktali. Jego konstrukcja polega na "wycięciu" środka dowolnego trójkąta (rozumianego przez trójkąt wewnętrzny powstały przez połączenie środków wszystkich trzech boków), a następnie powtarzanie tego postępowania dla pozostałych trójkątów.

Trójkąt Sierpińskiego 1

To co otrzymujemy w efekcie "nieskończonego" powtarzania tego procesu (czy w ogóle można umawiać sie, że jakieś czynności wykonujemy "w nieskończoność"?) jest właśnie trójkątem Sierpińskiego.

Trójkąt Sierpińskiego 2

Najbardziej zaskakujące w trójkącie Sierpińskiego jest to, że pierwotny "przepis" na jego otrzymanie jest jednym z wielu zupełnie różnych przepisów, tym ciekawszych, im mniej oczywistych, a prostych w definicji i ewentualnej implementacji w postaci programu komputerowego.

Do moich ulubionych przepisów "alternatywnych" należą trzy:

  1. Narysuj trójkąt Pascala. Liczby nieparzyste pokoloruj na biało, a parzyste na czarno.
  2. Każdy punkt przestrzeni (x, y) gdzie x >= 0 i y >= 0 pokoloruj na biało jeśli koniunkcja binarna x & y jest różna od zera.
  3. Ustal dowolne trzy niewspółliniowe punkty na płaszczyźnie, x0, x1 i x2. Oprócz nich wybierz dowolny punkt x różny od ustalonych. Następnie wylosuj dowolny spośród x0, x1 i x2, wyznacz nowy x leżący w połowie między wylosowanym xi a starym x i nowo wyznaczony x oznacz na płaszczyźnie kolorem białym. Postępowanie kontynuuj: wylosuj dowolny spośród x0, x1 i x2, wyznacz nowy x [...].

Ostatni z tych przepisów zaimplementowany jest w postaci przykładowej aplikacji uruchamianej w oknie przeglądarki. Aby obejrzeć działanie programu, wymagana jest przeglądarka obsługująca formant typu Canvas. Zachęca się Czytelnika do wykorzystania kodu aplikacji do zaimplementowania pozostałych algorytmów.

Twoja przeglądarka nie obsłguje formantu typu Canvas

Trójkąt Sierpińskiego ma wiele interesujących rozwinięć, nie tylko na płaszczyźnie, ale także w przestrzeni (piramida Sierpińskiego, gąbka Mengera).

Ogólna zasada, na której zbudowane są zbiory samopodobne tego typu, nazywa się IFS (ang. Iterated Function System) i polega na opisaniu przekształceń zwężających na płaszczyźnie a następnie znajdowaniu zbiorów, które są niezmienne względem takiego układu przekształceń.

Najbardziej znanymi fraktali typu IFS są smok Heighwaya, paproć Barnsleya i fraktalne drzewo. .

Paproć Barnsleya Fraktalne drzewo
0
Twoja ocena: Brak

Copyright © 2008-2010 Wrocławski Portal Informatyczny

design: rafalpolito.com